Trabajo de Álgebra Lineal (página 2)

INVERSA DE UNA MATRIZ.-
Una matriz es invertible siempre y cuando exista una matriz D de
n x n, tal que al multiplicar por la matriz primitiva que la
denominaremos como A se produzca la siguiente relación
y donde a la matriz D la
denominaremos como inversa de A y su denotación
será ademásserá la matriz identidad de
orden n así las relaciones se dan de la siguiente
manera:

TEOREMAS

• a) Una matriz que no tiene inversa se denomina no
  invertible o simplemente singular.

• b) Una matriz que tiene inversa se denomina
  invertible o simplemente no singular.

• c) Si A es una matriz invertible, entonces su inversa
  es única. [4]

• d) Las matrices no cuadradas no tienen
  inversas.[5]

La resolución de la inversa de una matriz se consigue
con la consecución de loa siguientes pasos que
serán relatados a continuación:

• Dada la matriz a conseguir la inversa se debe verificar
  que esta tenga el mismo número de filas como de
  columnas es decir sea una matriz de n x n

• A continuación se procede a colocar la matriz
  identidad a lado de la matriz que se requiere la inversa.

• Mediante el proceso de Gauss – Jordan se procede a
  convertir la matriz que se requiere la inversa en la
  identidad

• Así la matriz que se encuentre en la
  posición de la identidad será la inversa de la
  matriz deseada.[6]

• TRANSPUESTA.- La transpuesta de una matriz de m x n
  no es más que el cambio de filas por columnas,
  así la nueva matriz será de n x m, la
  denotación de la transpuesta de una matriz es la
  siguiente.

Una matriz denominada simétrica es aquella cuya matriz
es igual a la transpuesta, en donde se cumple la siguiente
condición:

La transpuesta de nos regresa a la matriz original A,
además la transpuesta de una matriz triangular inferior es
una triangular superior.[7]

TEOREMAS

• a) La transpuesta de AB es

• b) La transpuesta de la inversa de una matriz es
  

Determinante

El determinante es un número real asociado con una
matriz mediante la función
determinante. El determinante de una matriz de 1 x 1 es igual a
su elemento. La denotación del determinante se da de la
siguiente manera:

• OPERACIONES CON DETERMINANTES.- Las operaciones con
  determinantes son todas las operaciones que se pueden
  realizar sobra la matriz para resolución de su
  determinante y que no alteren su resultado, todo esto nos
  lleva a las propiedades de los determinantes que será
  mostradas a continuación:

• Si se intercambian las filas por las columnas en un
  determinante por medio de matrices de permutación, su
  valor no se modifica, como sabemos todo lo que decimos para
  las filas también podemos decir para las columnas.

• Si todos los elementos de una fila o columna son nulos, el
  determinante será cero.

• Si se permutan dos filas o columnas iguales, el valor del
  determinante cambia de signo.

• Si un determinante tiene dos filas o columnas iguales su
  valor es cero.

• Si todos los elementos de una fila o columna de un
  determinante se multiplican por un mismo escalar k, el valor
  del determinante queda multiplicado por K

• Si todos los elementos de una fila o columna de un
  determinante son suma de dos o más términos, el
  determinante es igual a la suma de dos o más
  determinantes.

• Si todos los elementos de una fila o columna de un
  determinante se suman con los elementos correspondientes de
  otra por un escalar k, el valor de determinante no
  varía.

Formas de
reducción

La forma de reducción es el pasar una matriz a una
triangular superior o inferior, en tal caso la resolución
del determinante se reduce al producto de su
diagonal.

2.4.1 DESARROLLO CON
EL MÉTODO DE GAUSS – JORDAN.- Cuando realizamos la
eliminación escogiendo los pivotes mediante el método de
Gauss – Jordan la matriz que obteníamos era una
triangular superior, así de esta manera el determinante de
una matriz triangular superior se reduce al cálculo de
el producto de su diagonal, en este punto es muy importante las
matrices de
permutación ya que nos ayudan a tener un mejor pivote y
que el sistema pueda
tener una solución. [8]

Cálculo

• DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE 2X2.- Si se tiene una
  matriz A de 2 x 2 de la siguiente manera:

El determinante
de una matriz de 2 x 2 se calcula de la siguiente manera:

Así el determinante de una matriz de 2 x 2 se da de la
siguiente manera:

• DETERMINANTE DE TERCER ORDEN. – Si se tiene
  una matriz de 3 x 3 de la siguiente manera:

La resolución del determinante se consigue con la
realización de los siguientes pasos:

• a) Se escriben, al lado del determinante, las dos
  primeras columnas del mismo:

• b) Se multiplican los elementos de las tres
  diagonales, en el sentido de izquierda a derecha y de arriba
  abajo, seguido a cada producto del signo +

• c)  Se multiplican los elementos de las tres
  diagonales, en el sentido de derecha a izquierda y de arriba
  abajo, seguido a cada producto del signo –

• d) La suma algebraica de los seis productos es el
  desarrollo del determinante:[9]

• MÉTODO DE COFACTORES.- Antes de comenzar con
  el desarrollo de el determinante por el método de
  cofactores se debe antes tener un concepto muy importante que
  se tiene a continuación:

2.5.3.1
MENOR.- Es igual al determinante de la matriz que resulta al
eliminar una fila y columna, es decir es el determinante de la
matriz que se obtiene al eliminar la i-ésima fila y la
j-ésima columna de la matriz, por ejemplo si en una matriz
de 3 x 3 eliminamos la fila y columna la menor viene denominada por

2.5.3.2 COFACTOR.- Se representa con la letra y su cálculo se da de
la siguiente manera:

Así para el cálculo del determinante se consigue
de la siguiente manera si se escoge a la i-ésima fila para
el desarrollo:

Para el cálculo con las j-ésima columna se
obtiene de la siguiente manera:

Otra de las formas para la obtención del signo del
menor es mediante la siguiente matriz de signos de n x
n:

CONDICIONES PARA QUE UN DETERMINANTE SEA CERO.- Las
condiciones para que el determinante de una matriz sea cero
(det(A)=0) son las siguientes:

• a) Toda una fila o columna conste de ceros

• b) Dos filas o columnas sean iguales

• c) Una fila o una columna sea dependiente o
  múltiplo de otra fila o columna
  correspondientemente.

Aplicaciones

• ADJUNTA DE UNA MATRIZ.- Antes de entrar a la
  resolución de la adjunta de una matriz antes debemos
  recordar que el cofactor de una matriz viene dado como veces el determinante de
  la matriz obtenida al eliminar el i-ésima fila y
  j-ésima columna de la matriz. Siendo A la matriz de n
  x n, entonces la matriz de cofactores de A se da de la
  siguiente manera:

• 

  La transpuesta de esta matriz se denomina adjunta de la
  matriz y su denotación es: es decir la transpuesta de la matriz A
  es la siguiente:[10]

  

• INVERSA DE UNA MATRIZ MEDIANTE LA ADJUNTA.- Dada
  una matriz A invertible, no singular de n x n, entonces la
  inversa de una matriz viene dado por la siguiente
  relación:

• REGLA DE CRAMER.- La regla de Cramer es una
  aplicación práctica de los determinantes para
  la resolución de sistemas de ecuaciones
  simultáneas de n ecuaciones con n incógnitas.
  Está regla puede aplicarse sólo a sistemas de
  ecuaciones lineales que tienen soluciones únicas.

Si se tiene un sistema de ecuaciones
como el siguiente:

La soluciones de
"x" y "y" viene dados de la siguiente
manera:[11]

Donde det (D) es el determinante de los coeficientes. Para la
determinación de los valores de
las incógnitas se obtiene a partir de la matriz A al
sustituir la columna donde se encuentre la incógnita por
la columna de las constantes c, y ese resultado dividirlo para el
determinante de la matriz D de
coeficientes.[12]

• ÁREA DE UN TRIANGULO EN EL PLANO XY.- El
  área de un triángulo cuyos vértices son:
  está
  dada por la siguiente relación:[13]

• PARA PROBAR SI TRES PUNTOS EN EL PLANO XY SON
  COLINEALES.- Tres puntos son colineales en el plano x y si y solo
  sí cumplen con la siguiente
  condición:[14]

• FORMAR LA ECUACIÓN DE LA RECTA POR MEDIO DE DOS
  PUNTOS.- La ecuación de la recta que pasa por dos
  puntos distintos está dada por la siguiente
  relación:[15]

Conclusiones

En el primer punto del trabajo
tuvimos un concepto general
de lo que son las permutación que son cada uno de los
intercambios que se pueden hacer sin repetirlos, así mismo
lo llevamos a términos matriciales que es el intercambio
de filas cuando un pivote es cero y debemos buscar un pivote
adecuado para la eliminación de Gauss – Jordan y
así mismo para la correcta resolución de un sistema
de ecuaciones.

En la operaciones de
los determinantes pudimos llegar a la conclusión que
podemos trabajar sobre la matriz a obtener el determinante para
que nuestra resolución sea mucho más rápida
y haciendo que el resultado de la misma no sea alterado de
ninguna manera.

Las diferentes formas de resolución nos llevo a un
enfoque mucho más amplio de la resolución del
determinante de una matriz, ya que cada una de ellas podía
ser utilizadas en las otras ya que en el método de
cofactores se usa mucho la resolución de el determinante
de las matrices de 2 x 2, las permutaciones cuando queremos
transformar una matriz a una triangular superior o inferior para
la resolución de el determinante por medio de el producto
de la diagonal.

En el punto de las aplicaciones se pudo ver formas mucho
más simples que podemos usar para la resolución de
la inversa, la adjunta, en geometría
analítica la obtención de el área de un
triangulo, la determinación de colinealidad de dos puntos,
así como la ecuación de la recta entre dos
puntos.

Recomendaciones

Por el momento en este trabajo no tengo recomendaciones que
proporcionar, ya que el trabajo se
realizo con la debida anticipación, así como el
envío del mismo, en futuros trabajos si hubiera alguna de
ellas se las dará a conocer

Bibliografía

• Teoría y Problemas de Matrices. Ayres, Frank, JR.
  Serie de compendios Schaum. México. 1969

• Teoría y Problemas de Algebra Lineal. Lipschutz,
  Seymour. Serie de compendios Schaum. México. 1969

• Algebra de Matrices. Franz E. Hohn. Editorial Trillas.
  México.1979

• Introducción al Álgebra Lineal. Larson
  – Edwards. México. Editorial Limusa. 1994

Anexos

A1

A1.1

Determinar el número de permutaciones que pueden
hacerse con las cifras 1, 2, 3, 4, 5

El número de permutaciones se determina mediante la
relación presenta en la parte escrita del trabajo
donde:

A1.2

Determinar el número de permutaciones que se pueden
hacer con las letras de la palabra CONCORDANCIA.

a= #A = 2 b= #C = 3 c= #D = 1 d= #O = 2 e= #N = 2 f= #I = 1 g=
#R = 1 n=12

A1.3

Dada la siguiente matriz encontrar la matriz de
permutación que produzca el intercambio de la segunda fila
con la primera:

La matriz de permutación que produce el intercambio de
la segunda fila con la segunda es la siguiente:

Ya que si realizamos el producto entre las dos matrices se
producirá el intercambio deseado de la siguiente
manera:

A1.4

Se supone para esta demostración que A es invertible, y
además se sabe que tiene por lo menos una inversa D tal
que para esto
supongamos que A tiene otra inversa C tal que AC=I=CA, entonces
podemos demostrar que B y C son iguales de la siguiente
manera:

Por lo tanto se ha demostrado que B y C son iguales y de esta
manera se puede llegar a la conclusión que la inversa
tiene una única solución.

A1.5

Para demostrar este teorema debemos observar que si A es de
orden y D es de
orden en donde
entonces los
productos AD y
DA será de órdenes diferentes y así de esta
de esta manera se deduce que nunca de los nunca podrán ser
iguales entre sí.

A1.6

Dada la siguiente matriz determinar su inversa:

Para esto colocamos la matriz identidad a continuación
de la matriz A y tratamos de conseguir la identidad:

Procedemos a hacer cero a -1 mediante la eliminación de
Gauss – Jordan multiplicando la primera fila por 1 y
sumándole a la segunda y tenemos de la siguiente
manera:

Ahora procedemos a hacer cero a 4, multiplicando la segunda
fila por -4 y sumándole a la primera y obtenemos lo
siguiente:

Si en los lugares de la diagonal tuviéramos
números diferentes de 1 lo que procedemos a realizar es la
división de toda la fila por ese número, así
de esta manera la inversa de la matriz a es la siguiente:

Para comprobar realizamos el producto por la matriz primitiva
y obtendremos la matriz identidad.

A1.7

La siguiente matriz determinar si es simétrica o
no:

Si realizamos la transpuesta de esta matriz tenemos:

Como podemos observar la transpuesta y matriz original son
idénticas por lo tanto podemos decir que la matriz A es
simétrica.

A1.8

Dada la matriz A de m x n calcular su transpuesta:

La transpuesta de la matriz se conseguirá mediante el
cambio de
filas en columnas, así la nueva matriz será de n x
m:

A4

A4.1

Realizar la eliminación de Gauss – Jordan a la
siguiente matriz y de esta manera conseguir el determinante:

Mediante el método de Gauss – Jordan la matriz se
tiene de la siguiente manera:

Por lo tanto el determinante de la matriz se consigue con el
producto de la diagonal de la matriz ya que esta es una
triangular superior:

A5

A5.1

Calcular el determinante de la matriz cuadrada de 2 x 2:

El determinante de la matriz A se consigue de la siguiente
manera:

A5.2

Encontrar el determinante de la siguiente matriz:

Al desarrollar el determinante nos queda de la siguiente
manera:

El valor de el
determinate es:

Encontrar el determinante de la siguiente matriz:

Al desarrollar el determinante nos queda de la siguiente
manera:

El valor de el determinate es:

A5.3

Encontrar el determinante de la siguiente matriz por el
método de cofactores escogiendo una fila para el
desarrollo:

Para el desarrollo del determinante utilizaremos la siguiente
formula:

A5.4

Encontrar el determinante de la misma matriz de A3.3
por el método de cofactores escogiendo ahora una columna
para el desarrollo:

Para el desarrollo del determinante utilizaremos la siguiente
formula:

A6

A6.1

Determinar la adjunta de la siguiente matriz:

La solución de la adjunta se consigue siguiendo el
esquema en la parte superior del trabajo:

Realizaremos el cofactor de y el cálculo de los demás
cofactores serán idéntico:

La matriz de cofactores será de la siguiente
manera:

Como dijimos en la parte superior la adjunta de la matriz es
la transpuesta de la matriz A así que el resultado
será el siguiente:

A6.2

Determinar la inversa de la matriz anterior usada para la
obtención de la adjunta de A:

Ahora obtendremos el determinante de la matriz A:

La inversa de la matriz se consigue de la
siguiente manera:

A6.3

Para la demostración de la Regla de Cramer se considera
el siguiente sistema:

Al multiplicar por la primera ecuación y por la segunda ecuación y
luego sumar los resultados se obtiene:

Al despejar suponiendo quese obtiene:

De la misma manera se puede despejar

Como podemos observar tanto el numerador como el denominador
pueden ser representados como determinante:

A6.4

Determinar los coeficientes x, y, z del siguiente sistema de
ecuaciones:

Desarrollando los determinantes de cada uno de ellos por el
método de cofactores el resultado es el siguiente:

A6.5

Encontrar el área de el triangulo cuyo vértices
son los puntos como
se indica en la figura.

Se toma el valor absoluto del área ya que el
área no puede ser considerada como negativa.

A6.6

Determinar si los puntos son colineales

Si desarrollamos el determinante por medio de los cofactores
podemos determinar que es igual a cero:

Así de esta manera comprobamos que los tres puntos son
colineales.

A6.7

Determinar la ecuación de la recta determinada por los
puntos:

0

La ecuación de la recta que pasa por los puntos
es por lo tanto la
ecuación es una recta paralela al eje de las x.

Autor:

Martín Quito

18 DE MAYO DE 2009

Ecuador

[1] Ejemplo de permutación de anexo
A1.1

[2] Ejemplo en el anexo A1.2

[3] Ejemplo en anexo A1.3

[4] Demostración en anexo A 1.4

[5] Demostración en anexo A1.5

[6] Ejemplo en anexo A1.6

[7] Ejemplo en anexo A1.8

[8] Ejemplo en anexo A4.1

[9] Ejemplo en anexo A5.2

[10] Ejemplo en anexo A6.1

[11] Demostración en anexo A6.3

[12] Ejemplo en anexo A6.4

[13] Ejemplo en anexo A6.5

[14] Ejemplo en anexo A5.6

[15] Ejemplo en anexo A5.7